等价矩阵和矩阵的等价标准型

Tldr

任何矩阵都可以通过初等变换（行和列）变为等价标准形（对角外全是 $0$ 但不一定填满）

等价矩阵

若对矩阵 $A$ 进行行列操作 $PAQ$ （$P,Q$ 分别是行变换矩阵，列变换矩阵），得到矩阵 $B$ ，则 $A,B$ 是等价矩阵，记作 $A\cong B$ 。

Note

$A,B$ 一定同型。

等价标准型

任何 $A$ 等价于形如 $\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ 的矩阵。（${\mathbf{E}}_r$ 中的 $r$ 正好是原 矩阵的秩）。后者称为 $A$ 的等价标准型。

$\mathbf{PAQ}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$