第二型曲面积分

概念和性质

向量函数 $\mathbf{F}(x,y,z)$ 通过曲面 $\sum$ 的通量 $\underset{\Sigma }{\iint }F\bullet \mathrm{d}S=\underset{\Sigma }{\iint }P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$ 流出为正，流入为负

性质

• 线性性质
• 方向性
• 可加性

计算

化二重积分

1. 拆成三个积分，一个一个做：

\iint_{\Sigma}P(x, y, z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q(x, y, z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ =\iint_{\Sigma}P(x, y, z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\iint_{\Sigma}Q(x, y, z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\iint_{\Sigma}R(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{gathered}$$ 2. 分别投影到相应的坐标面上 3. 一投二代三计算 ### 高斯公式 - 封闭曲面 - 一阶偏导数连续 - 外侧 $$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}\nu ,$$ 1. 封闭曲面且内部无奇点，直接用高斯公式 2. 非封闭曲面，且 $\operatorname{div}F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\neq0$, 补面使其封闭 3. 封闭曲面有奇点在内部，且除奇点外 $div F=0$，换一个面积分，一般取 分母= $\varepsilon^2$ ### 转换投影法    ## 第二型曲面积分的对称性