第一型曲线积分

Important

第一型曲线积分没有方向

Summary

一投 二代 三计算

性质

• 求空间曲线的长度
• 可积必有界
• 积分的线性性质
• 积分的可加性
• 积分的保号性
• 第一型曲线积分的估值定理
• 第一型曲线积分的中值定理

普通对称性和轮换对称性

计算

平面

$${\int }_{L}f(x,y)dx={\int }_a^{b}f[x,y(x)]\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$$

${\int }_{L}f(x,y)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t)]\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t.$ ${\int }_{L}f(x,y)dx={\int }_{\alpha }^{\rho }f[r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )\sin \theta ]\sqrt[]{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}\mathrm{d}\theta .$

空间

${\int }_{L}f(x,y)dx=={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2+[z^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t.$

Note

$$\oint 封闭曲线专用记号$$

应用

• 弧长
• 重心公式
• 形心公式的逆用