幂级数求和函数

概念

在收敛域上，记 S (x) = n = 1 \sum \infty u_{n} (x) ，并称 S (x) 为 n = 1 \sum \infty u_{n} (x) 的 和函数 。

若幂级数 $n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}$ 与 $n = 0 \sum \infty b_{n} x^{n}$ 的收敛半径分别为 $R_{a}$ 和 $R_{b}$ （ $R_{a} \neq = R_{b}$ ），则：

$k n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} = n = 0 \sum \infty k a_{n} x^{n}$ ， $∣ x ∣ < R$ ， $k$ 为常数。
$n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} \pm n = 0 \sum \infty b_{n} x^{n} = n = 0 \sum \infty (a_{n} \pm b_{n}) x^{n}$ ， $∣ x ∣ < R = min {R_{a}, R_{b}}$ 。

Help

当 $R_{a} = R_{b}$ 时，收敛半径 $R \leq min {R_{a}, R_{b}}$

$(n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}) \cdot (n = 0 \sum \infty b_{n} x^{n}) = n = 0 \sum \infty (a_{0} b_{n} + a_{1} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b) x^{n} = n = 0 \sum \infty (i = 0 \sum n a_{i} b_{n - i}) x^{n}$
- 收敛半径 $R \geq min {R_{a}, R_{b}}$

通项，下标一起变化： $n = k \sum \infty a_{n} x^{n} = n = k + l \sum \infty a_{n - l} x^{n - l}$ ，其中 $l$ 为整数。
只变下标，只变通项： $n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} = a_{k} x^{k} + a_{k + 1} x^{k + 1} + \dots + a_{k + l - 1} x^{k + l - 1} + n = k + l \sum \infty a_{n} x^{n}$ 。
只变通项，不变下标： $n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} = x^{l} n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n - l}$ 。

幂级数 $n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}$ 的和函数 $S (n)$ 在其收敛区间 $I$ 上连续，且如果幂级数在收敛区间的端点 $x = \pm R$ 处收敛，则和函数 $S (x)$ 在 $(- R, R]$ 或 $[- R, R)$ 上连续。
幂级数 $n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}$ 的和函数 $S (x)$ 在其收敛域 $I$ 上可积，且有逐项积分公式 $\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (n = 0 \sum \infty a_{n} t^{n}) d t = n = 0 \sum \infty a_{n} \int_{0}^{x} t^{n} d t = n = 0 \sum \infty \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1}$ （ $x \in I$ ），逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同收敛半径，但是收敛域可能扩大。（逐项可积性）
幂级数 $n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}$ 的和函数 $S (x)$ 在其收敛区间 $(- R, R)$ 内可导，且有逐项求导公式 $S^{'} (x) = (n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n})^{'} = n = 0 \sum \infty (a_{n} x^{n})^{'} = n = 1 \sum \infty n a_{n} x^{n - 1}$ （ $∣ x ∣ < R$ ），逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同收敛半径，但是收敛域可能缩小。（逐项可导性）（为什么求和函数后从 $n = 1$ 开始？因为 0 开始的是常数，求导为 0）

$e^{x} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{n}}{n !} + \dots$ ， $- \infty < x < + \infty$
$\frac{1}{1 + x} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} x^{n} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots + (- 1)^{n} x^{n} + \dots$ ， $- 1 < x < 1$
$\frac{1}{1 - x} = n = 0 \sum \infty x^{n} = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots$ ， $- 1 < x < 1$
$ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} \frac{x ^{n}}{n} = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} + \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x ^{n}}{n} + \dots$ ， $- 1 < x ⩽ 1$
$sin x = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} + (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} + \dots$ ， $- \infty < x < + \infty$
$cos x = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!} = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!} + \dots$ ， $- \infty < x < + \infty$
$(1 + x)^{α} = 1 + αx + \frac{α ( α - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots + \frac{a ( a - 1 ) \dots ( a - n + 1 )}{n !} x^{n} + \dots$

s (x) = s (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} f^{'} (t) d t

s (x) = [\int s (x) d x]^{'}

Note

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} x^{n} = - ln (1 - x)$ ， $- 1 \leq x < 1$ $n = 1 \sum \infty n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$ ， $- 1 < x < 1$