常数项级数的概念与性质

概念

给定一个无穷数列 $u_1,u_2,\dots ,u_n,\dots ,$ 将其各项用加号连起来得到记号 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ ，即

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+\cdots +u_n+\dots$$

叫做无穷级数，简称级数，其中 $u_n$ 叫做该级数的通项。若 $u_n$ 是常数，则称 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 为常数项无穷级数，简称常数项级数。

部分和

$S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$ 称为级数的部分和，$\{S_n\}$ 是级数的部分和数列。

若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，并称 $S$ 为该收敛级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 的和；若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ 不存在或为 $\pm \infty$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 发散

性质

（分配率，结合律）

• 线性性质：若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 均收敛，则任给常数 $a,b$，有 $\sum _{n=1}^{\infty }(a{u}_n\pm b{v}_n)$ 也收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }(a{u}_n+b{v}_n)=a\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\pm b\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$（收敛±发散=发散，发散±发散=不确定）
• 改变级数任意有限项，不会改变该级数的敛散性
• 收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍收敛，且其和不变
  • 逆否命题：若加括号后得到的新级数发散，则原级数必发散

Note

${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛可以推出 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$ = $(u_1+u_2)+(u_3+u_4)+\dots$ 收敛 $u_n>0,{\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n$ 收敛 $\Rightarrow {\sum }_{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}-u_{2n})$ 收敛

• 若 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_{n=0}$
  • 逆否命题：若 ${\lim }_{n\to \infty }{u}_n\ne 0,$ 则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 必发散

题目

证明：

$$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1}-u_n)收敛⟺\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n存在$$

例题：

$$\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$$

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子列

$$若\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0,\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n}=0，证明\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=S$$