函数展开成幂级数

利用已知的幂函数展开式，通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项积分和待定系数法等方法得到函数的展开式 $\begin{array}{rl}& \ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n},-1<x\le 1.\\ & \frac{1}{2}\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\cdot \frac{x^n}{2n},-1<x\le 1.\\ & \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1},-1⩽x⩽1.\\ & e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!},-\infty <x<+\infty .\\ & \frac{e^x+e^{-x}}{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!},-\infty <x<+\infty .\\ & \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!},-\infty <x<+\infty .\\ & \frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},-\infty <x<+\infty .\\ & \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},-\infty <x<+\infty .\end{array}$

Tip

分母为 $n,2n$ 想到 $\ln (1+x)$ 分母为 $2n+1$ 想到 $\arctan x$ 分母为 $n!$ 想到 $e^x$ 分母为 $2n!$ 想到 $\cos x$ （交错）和 $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ （全正项） 分母为 $(2n+1)!$ 想到 $\sin x$ （交错）和 $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ （全正项）