傅里叶级数

周期为 2 l 的傅里叶级数

定义 4 设函数 $f(x)$ 是周期为 2 $l$ 的周期函数，且在 $[-l,l]$ 上可积，则称

$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi }{l}x\mathrm{d}x(n=0,1,2,\cdots ),$

$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi }{l}x\mathrm{d}x(n=1,2,3,\cdots )$

为 $f(x)$ 的以 2 $l$ 为周期的傅里叶系数 .称级数

$\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi }{l}x+b_n\sin \frac{n\pi }{l}x\right)$

为 $f(x)$ 的以 2 $l$ 为周期的傅里叶级数，记作

$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi }{l}x+b_n\sin \frac{n\pi }{l}x\right).$

狄利克雷收敛条件

设 $f(x)$ 是以 2 $l$ 为周期的可积函数，如果在 $[-l,l]$ 上 $f(x)$ 满足：

1. 连续或只有有限个第一类间断点，
2. 至多只有有限个极值点. 则 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $[-l,l]$ 上处处收敛. 记其和函数为 $S(x)$,则

$S(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\text{为连续点}\\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},& x\text{为间断点}\\ \frac{f(-l+0)+f(l-0)}{2},& x=\pm l.\end{array}$

Note

即 $s(x)$ 收敛于点的 $\frac{左极限+右极限}{2}$

正弦级数和余弦级数

当 $f(x)$ 为奇函数时，其展开式是正弦级数 $f(x)\sim {\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n\sin \frac{n\pi x}{l},b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x,n=1,2,\cdots .$ 当 $f(x)$ 为偶函数时，其展开式是余弦级数 $f(x)\sim \frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi x}{l},$

$${a}_0=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\mathrm{d}x,a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x,n=1,2,\cdots .$$

奇延拓和偶延拓