物理应用

变力沿直线做功

设方向沿 $x$ 轴正向的力函数 $y=F(x)(a\le x\le b)$ ，则当物体从 $a$ 移动到 $b$ 变力做功为： $W={\int }_a^{b}F(x)\mathrm{d}x$

纵坐标为力的大小 $F$ ，横坐标为位移 $x$ 。

功的微元是 $\mathrm{d}W=F(x)\mathrm{d}x$ 。

Note

• 力做功的基础方程是 $W=Fx$ 力乘以位移。因为此时力是一个函数，随时都在变化，因此使用微元法进行积分。
• 变力做功可以理解为曲边梯形的面积。
• 应用题需要将文字描述转换为数学语言。

抽水做功

假设一个奇形怪状的瓶子，每一个深度的截面积都不相同，如图：

水深为 $a-b$ ，截面积函数为 $A(x)$ ，则将容器中的水全部抽出所用的功为： $W=\rho g{\int }_a^{b}xA(x)\mathrm{d}x$

其中水的密度为 $\rho$ ，重力加速度为 $g$ 。

Note

• 每一层水的质量为 $\rho gA(x)\mathrm{d}x$ ；
• 每一层水被抽出的路程为 $x$ ；
• 所以功的微元为 $\mathrm{d}W=\rho gxA(x)\mathrm{d}x$
• 因此只需要确定 截面积的函数 $A(x)$ 即可，其余都是常量。

静水压力

垂直浸没在水中的平板 $ABCD$ 的 一侧 受到的水压力为： $P=\rho g{\int }_a^{b}x[f(x)-h(x)]\mathrm{d}x$

Note

• $AB$ 曲线方程为 $y=h(x)$ ， $DC$ 曲线方程为 $f=f(x)$；
• 对于微元矩形条，近似认为其受到水压相等： $\mathrm{d}P=\rho gx\cdot S=\rho gx[f(x)-h(x)]\mathrm{d}x$；
• 矩形条面积为宽度 $f(x)-h(x)$ 乘以高度 $\mathrm{d}x$；
• 因此只需要确定 水深 $x$ 处的平板宽度 $f(x)-h(x)$ 即可。