第一型曲面积分

物理背景，以 $f(x,y,z)$ 为面密度的空间物质曲面的质量

性质

• 空间曲面的面积
• 可积函数必有界
• 积分的线性性质
• 积分的可加性
• 积分的保号性
• 第一型曲面积分的估值定理
• 第一型曲面积分的中值定理

普通对称性与轮换对称性

计算

一投二代三计算

$$\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D_{xy}}{\iint }f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}dxdy$$

Note

$\sum$ 上任何两点的投影点不能重合 重合时

1. 转投向另一个平面
2. 将 $\sum$ 分成若干曲面

常考

柱面 $x^2+y^2=a^2$ 的 $dS=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}}dxdy$ 球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的 $dS=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dady$ 锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 的 $dS=\sqrt{2}dxdy$

应用

光滑薄片面积

$$A=\underset{\sum }{\iint }\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}dS$$