平面第二型曲线积分

概念与性质

变力沿曲线做功

$$W={\int }_{L}F(x,y)d\mathbf{s}={\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$

• 线性性质
• 有向性
• 可加性

计算

化为定积分

参数方程

$$L:\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$$ $${\int }_{L}P(x,y)dx={\int }_{\beta }^{\alpha }P[x(t),y(t)]x^{\prime }(t)dt$$

一般式

$$y=y(x)$$ $${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_a^{b}P[x,y(x)]+Q[x,y(x)]y^{\prime }(x)dx$$

格林公式

• 有界闭区域
• 正向（左手在 D 内）
• 在 D 上具有一阶连续偏导数

$$\oint P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$$

曲线封闭且无奇点

直接用格林公式

非封闭曲线且 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

补线使其封闭

曲线封闭但有奇点在内部

除奇点外 $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$, 换路径 一般令分母为常数作为路径

平面曲线积分与路径无关

$D$ 是单连通区域，$P,Q$ 一阶偏导数连续

• $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$
• ${\oint }_{L}Pdx+Qdy=0$
• ${\int }_{L_1}Pdx+Qdy={\int }_{L_2}Pdxdx+Qdy$
• $du=Pdx+Qdy$
• $du=0=Pdx+Qdy$
• $\{P,Q\}$ 是 $u$ 的梯度