三重积分

概念、性质与对称性

概念

$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}\nu =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta {\nu }_i,$

其中 $f(x,y,z)$ 称为被积函数，$f(x,y,z)$ d $\nu$ 称为被积表达式，d $\nu$ 称为体积元素，$x,y$ 与 $z$ 称为积分变量， $\Omega$ 称为积分区域，${\sum }_{i=1}^n=f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta {\nu }_i$ 称为积分和 . 若 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上连续，则三重积分 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}\nu$ 一定存在.

Note

三重积分物理意义：设一物体占有 Oxyz 上闭区域 $\Omega$,在点 (x, y, z)处的体密度为$\rho \left(x,y,z\right),假定\rho \left(x,y,z\right)在\Omega 上连续，则物体质量$ $M={\iiint }_{\Omega }\rho \left(x,y,z\right)d\nu .$

性质

以下总假设 $\Omega$ 为空间有界闭区域 . 性质 1 ( 求空间区域的体积) ${\iiint }_{\Omega }1$ d $\nu ={\iiint }_{\Omega }$ d $\nu =V$, 其中 $V$ 为 $\Omega$ 的体积 性质 2 ( 可积函数必有界) 设 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上可积，则其在 $\Omega$ 上必有界 . 性质 3 ( 积分的线性性质) 设 $k_1,k_2$ 为常数，则 $\underset{\Omega }{\iiint }\left[k_{1}f(x,y,z)\pm k_{2}g(x,y,z)\right]\mathrm{d}\nu =k_1\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}\nu \pm k_2\underset{\Omega }{\iiint }g(x,y,z)\mathrm{d}\nu .$ 性质 4 ( 积分的可加性) 设 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上可积，且 ${\Omega }_1\cup {\Omega }_2=\Omega ,{\Omega }_1\cap {\Omega }_2=\varnothing ,则$ $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}\nu =\underset{{\Omega }_1}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}\nu +\underset{{\Omega }_2}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}\nu .$ 性质 5 ( 积分的保号性) 设 $f(x,y,z),g(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上可积，且在 $\Omega$ 上 $f(x,y,z)$ < $g(x,y,z)$, 则有 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}\nu ⩽{\iiint }_{\Omega }g(x,y,z)\mathrm{d}\nu .$ 特殊地，有 $\left|\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v\right|⩽\underset{\Omega }{\iiint }|f(x,y,z)|\mathrm{d}v.$

性质 6 ( 三重积分的估值定理 ) 设 $M$, $m$ 分别是 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上的最大值和最小值，$V$ 为 $\Omega$ 的体 积，则有 $mV⩽{\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}v⩽MV.$

性质 7 ( 三重积分的中值定理) 设 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上连续，$V$ 为 $\Omega$ 的体积，则在 $\Omega$ 上至少存在一 点 $(\xi ,\eta ,\zeta )$, 使得 $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}\nu =f(\xi ,\eta ,\zeta )V.$

普通对称性与轮换对称性

分析方法与二重积分完全一样

普通对称性

偶倍奇零

轮换对称性

在直角坐标系下，若把 $x$ 与 $y$ 对调后，$\Omega$ 不变，则 $\iiint f(x,y,z)dxdydz$ = $\iiint f(y,x,z)dxdydz$ ,这就是轮换对称性. 关于其他情况与此类似. 如 $\Omega =\{(x,y,z)\left|x^2+y^2+z^2⩽R^2\right\},\text{则}\underset{\Omega }{\iiint }f(x)dxdydz=\underset{\Omega }{\iiint }f(y)dxdydz=\underset{\Omega }{\iiint }f(z)dxdydz$ 可以化简计算.

计算

直角坐标系

先一后二（投影穿线法）： $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}\nu ={\iint }_{D_{xy}}\mathrm{d}\sigma {\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$ 先二后一（定限截面法）： $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}\nu ={\int }_a^b\mathrm{d}z{\iint }_{D_z}f(x,y,z)\mathrm{d}\sigma$

柱面坐标系

柱面坐标系 = 极坐标系下的二重积分与定积分

球面坐标系

适用场景： $$\begin{gathered} \text{a. 被积函数中含}\{\begin{array}{l}f(x^2+y^2+z^2),\\ f(x^2+y^2).\end{array} \\ \text{b. 积分区域为}\{\begin{array}{l}\text{球或球的部分},\\ \text{锥或锥的部分 }.\end{array} \end{gathered}$$ 计算方法： $\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta ,\\ y=r\sin \phi \sin \theta ,\\ z=r\cos \phi ,\end{array}$ $\mathrm{d}\nu =r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta .$

• $过z轴的半平面与xOz面正向夹角为\theta (取值范围[0,2\pi ])$
• $\text{顶点在原点,以 }z\text{ 轴为中心轴的圆锥面半顶角为 }\phi \text{ ( 取值范围}[0,\pi ])$
• $从原点出发画一条长为r的线(取值范围[0,+\infty )$

换元法

例 18.5 设 $\Omega =\{(x,y,z)|x^2+4y^2+z^2\le 1\}$ ,则 $I={\iiint }_{\Omega }(1-x^2-4y^2-z^2)dxdydz$ 令

$\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta ,\\ y=\frac{1}{2}r\sin \phi \sin \theta ,\\ z=r\cos \phi ,\end{array}$ $J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }& \frac{\partial x}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }& \frac{\partial y}{\partial \phi }\\ \frac{\partial z}{\partial r}& \frac{\partial z}{\partial \theta }& \frac{\partial z}{\partial \phi }\end{array}\right|=-\frac{1}{2}{r}^2\sin \phi ,$ $\begin{array}{rl}\text{I}& ={\iiint }_{x^2+4y^2+z^2⩽1}(1-x^2-4y^2-z^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\pi }\mathrm{d}\phi {\int }_0^1(1-r^2)\frac{1}{2}{r}^2\sin \phi \mathrm{d}r=\frac{4\pi }{15}.\end{array}$

Note

应用

若 $\Omega$ 是物体所占的空间区域，则其体积为 $V={\iiint }_{\Omega }$ d $\nu$ .

重心和形心

对于空间物体，若体密度为 $\rho (x,y,z),\Omega$ 是物体所占的空间区域，则计算重心 ($\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ 的公式为

$\overline{x}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }x\rho (x,y,z)\mathrm{d}\nu }{\underset{\Omega }{\iiint }\rho (x,y,z)\mathrm{d}\nu },\overline{y}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }y\rho (x,y,z)\mathrm{d}\nu }{\underset{\Omega }{\iiint }\rho (x,y,z)\mathrm{d}\nu },\overline{z}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }z\rho (x,y,z)\mathrm{d}\nu }{\underset{\Omega }{\iiint }\rho (x,y,z)\mathrm{d}\nu }.$

形心公式的逆用

$\begin{array}{rl}& \\ & \overline{z}=\frac{{\iiint }_{\Omega }zd\nu }{{\iiint }_{\Omega }d\nu },\text{得}{\iiint }_{\Omega }zd\nu =\overline{z}\cdot V\end{array}$

转动惯量

对于空间物体，若体密度为 $\rho (x,y,z),\Omega$ 是物体所占的空间区域，则计算该物体对 $x$ 轴、$y$ 轴、 $z$ 轴和原点 $O$ 的转动惯量 $I_x,I_y,I_z$ 和 $I_o$ 公式分别为

$I_x=\underset{\Omega }{\iiint }(y^2+z^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}v,I_y=\underset{\Omega }{\iiint }(z^2+x^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}v,$

$I_z={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}\nu ,I_O={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}\nu .$

引力

(4)对于空间物体，若体密度为 $\rho (x,y,z),\Omega$ 是物体所占的空间区域，则计算该物体对物体外一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的质量为 $m$ 的质点的引力 $(F_x,F_y,F_z)$ 公式为

$F_x=Gm{\iiint }_{\Omega }\frac{\rho (x,y,z)(x-x_0)}{{\left[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2\right]}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}\nu ,$ $F_y=Gm{\iiint }_{\Omega }\frac{\rho (x,y,z)(y-y_0)}{{\left[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2\right]}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}\nu ,$ $F_z=Gm{\iiint }_{\Omega }\frac{\rho (x,y,z)(z-z_0)}{[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}\nu .$