幂级数及其收敛域

概念

函数项级数

设函数列 $\{u_n(x)\}$ 定义在区间 $I$ 上，称

$$u_1(x)+u_2(x)+\cdots +u_n(x)+\cdot$$

为定义在区间 $I$ 上的 $\text{函数项级数}$，记为 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$，当 $x$ 取确定的值 $x_0$ 时，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 称为常数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$。

幂级数

若 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 的一般项 $u_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次幂函数，则称 $\sum _{n=0}^{\infty }{u}_n(x)$ 为 $\text{幂级数}$，是一种常用的函数项级数，一般形式为 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+\cdots$其标准形式为 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^x+\cdots$其中 $a_n$（$n=0,1,2,\cdot$）为 $\text{幂级数的系数}$。

收敛点与发散点

若给定 $x_0\in I$，有 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 收敛，则称点 $x_0$ 为幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 的 $\text{收敛点}$；若给定 $x_0\in I$，有 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 发散，则点 $x_0$ 为幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 的 $\text{发散点}$。

收敛域

函数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 的所有收敛点的集合称为它的收敛域

阿贝尔定理

当幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在点 $x=x_1$（$x_1\ne 0$）处收敛时，对于满足 $|x|<|x_1|$ 的一切 $x$，幂级数 $\text{绝对收敛}$；当幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $x=x_2$（$x_2\ne 0$）处发散时，对于满足 $|x|>|x_2|$ 的一切 $x$，幂级数 $\text{发散}$。

收敛半径

若在 $x_1$ 处条件收敛，则 $R=\mid x_1-x_0\mid$

收敛域的求法

1. 对于不缺项的幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$
   1. 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\mid \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid =\rho$ 或 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\mid a_n\mid }=\rho$
   2. 单独讨论 $x=\pm R$
2. 对于缺项幂级数或一般函数项级数 $\sum u_n(x)$
   1. 加绝对值
   2. 用比值 (根值)判别法求收敛区间
   3. 单独讨论 $x=a,x=b$

Note

当级数很古怪时

• 拆项
  • 直接拆开成两个数列
  • 从内部拆开成两个子列 （如 $u_{2n}$ 和 $u_{2n+1}$）

抽象型

• 对级数提出或乘以因式 $(x-x_0{)}^k$，或者作平移，收敛半径不变
• 对级数逐项求导，收敛半径不变，收敛域可能缩小（只考虑端点）
• 对级数逐项积分，收敛半径不变，收敛域可能扩大（只考虑端点）