高阶线性微分方程的求解

Tip

以二阶为例，推广到高阶。

二阶常系数齐次线性微分方程

概念

方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ 称为二阶常系数齐次线性微分方程。

解的结构

若两个解为 $y_1(x),y_2(x)$ ，且 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}\ne C(常数)$ ，则称 $y_1(x),y_2(x)$ 是两个线性无关的解。

且 $y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$ 是方程的通解。

通解

必考

对于 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ ，其对应的特征方程为 $r^2+pr+q=0$

Note

令 $y=e^{rx}$ ，代入得： $r^2{e}^{xr}+p\cdot r{e}^{rx}+q{e}^{rx}$ 提出 $e^{rx}$ 得： $r^2+pr+q=0$

用求根公式可以得到两个解： $r_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

• 若 $p^2-4q>0$ ， $r_1\ne r_2$ ，通解为： $y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
• 若 $p^2-4q=0$ ， $r_1=r_2=r$ ，通解为： $y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$
• 若 $p^2-4q<0$ ，则设 $\alpha \pm \beta \mathrm{i}$ 是特征方程得一对共轭复根，通解为： $y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

二阶常系数非齐次线性微分方程

概念

$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)(f(x)\not\equiv 0)$

$f(x)$ 是已知的连续函数，称为自由项

解的结构

称 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ 是导出方程。

$y_{非齐通}=y_{齐通}+y\ast$

$y\ast$ ：非齐的一个特解。

• 把导出方程按照 二阶常系数齐次线性微分方程 解出来
• 找 $y\ast$ 。

Tip

• 若 $y_1^{\star }$ 是 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+q=f_1(x)$ 的解，$y_2^{\star }$ 是 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+q=f_2(x)$ 的解，则 $y_1^{\star }+y_2^{\star }$ 是 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+q=f_1(x)+f_2(x)$ 的解。
• 设 $y_1^{\star },y_2^{\star }$ 都是 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+q=f(x)$ 的特解，则 $y_1^{\star }-y_2^{\star }$ 是对应齐次方程的解。

Note

两个方程相加，两个方程相减

两个方法：

• 待定系数法
• Haviside 算子法

特解的设定

设 $P_n(x),p_m(x)$ 分别为 $x$ 的 $n$ 次、 $m$ 次多项式：

1. 当 $f(x)=P_n(x)e^{ax}$ 时，特解需要设为： $y^{\ast }=e^{ax}{Q}_n(x)x^k$ 特解设为 $y^{\ast }=e^{\alpha x}{Q}_n(x)x^k$，其中 $e^{\alpha x}$ 照抄，$Q_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，

$$k=\{\begin{array}{ll}0，& \alpha \text{不是特征根}\\ 1，& \alpha \text{是特征根}\\ 2，& \alpha \text{是二重特征根}\end{array}$$

1. 当 $f(x)=e^{ax}[P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]x^k$ 时，特解需要设为： $y^{\ast }=e^{ax}[Q_l^{(1)}(x)\cos \beta x+Q_l^{(2)}(x)\sin \beta x]x^k$ 特解设为 $y^{\ast }=e^{\alpha x}{Q}_n(x)x^k$，其中$e^{\alpha x}$照抄，$l=\max \{m,n\}$，$Q_l^{(1)}$、$Q_l^{(2)}$为$x$的两个不同的$l$次多项式，

$$k=\{\begin{array}{ll}0,& \alpha \pm \beta i\text{不是特征根}\\ 1,& \alpha \pm \beta i\text{是特征根}\end{array}$$

还可以用微分算子法 求解，具体解法见书 p275。

通解

若：

• $y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$ 是 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的通解；
• $y^{\ast }(x)$ 是 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ 的一个特解，

则： $y(x)+y^{\ast }(x)$ 是 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ 的通解。

n 阶常系数齐次线性微分方程

1. 若 $r$ 为单实根，写 $C{e}^{rx}$；
2. 若 $r$ 为 $k$ 重实根，写 $(C_1+C_{2}x+C_3{x}^2+\cdots +C_k{x}^{k-1})e^{rx}$
3. 若 $r$ 为单复根 $\alpha \pm \beta \mathrm{i}$ ，写 $e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$
4. 待完善 若 $r$ 为二重复根 $\alpha \pm \beta \mathrm{i}$ ，写 $略（应该不会考）$

反求方程的理论基础

• 如果解中含特解 $e^{rx}$ ，则 $r$ 至少为单实根；
• 如果解中含特解 $x^{k-1}{e}^{rx}$ ，则 $r$ 至少为 $k$ 重实根；
• 如果解中含特解 $e^{\alpha x}\cos \beta x$ 或 $e^{\alpha x}\sin \beta x$ ，则 $\alpha \pm \beta \mathrm{i}$ 至少为单复根；
• 如果解中含特解 $e^{\alpha x}x\cos \beta x$ 或 $e^{\alpha x}x\sin \beta x$ ，则 $\alpha \pm \beta \mathrm{i}$ 至少为二重复根。

欧拉方程

$x^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+px\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+qy=f(x)$ $x^2{y}^{\prime \prime }+p{x}^1{y}^{\prime }+q{x}^0{y}^{(0)}=f(x)$ 称为欧拉方程。

解法：

1. 当 $x>0$ ，令 $x=e^t$ ，则 $t=\ln x$ ， $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}$。于是： $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)=-\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)=-\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}$ 方程化为： $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+(p-1)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+qy=f(e^t)$ 即可求解

   $t=\ln x$！

   别忘了回代

2. 当 $x<0$ ，令 $x=-e^t$ ，同理可得。