微分算子法

约定：

$$D=\frac{d}{dx},Dy=\frac{dy}{dx},D^2=\frac{d^2}{d{x}^2},D^{2}y=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$$ $$y\ast =\frac{1}{F(D)}f(x)$$

$e^{ax}$ 型

• 若 $F(D)\ne 0$，有 $y^{\ast }=\frac{1}{F(D){|}_{D=\alpha }}{e}^{\alpha x}$
• 若 $F(D)\ne 0$，$F^{\prime }(D){|}_{D=\alpha }\ne 0,$ 有 $y^{\ast }=x\frac{1}{F(D){|}_{D=\alpha }}{e}^{\alpha x}$
• 若 $F(D)\ne 0$，F'(D)|_{D=\alpha}= 0,$$F''(D)|_{D=\alpha}\neq 0, 有 $y^{\ast }=x^2\frac{1}{F(D){|}_{D=\alpha }}{e}^{\alpha x}$

$\cos \beta x$ 或 $\sin \beta x$ 型

若 $F(D)=D^2+pD+q$ 则取 $F(D){|}_{D^2=(\beta i{)}^2}=pD+q-{\beta }^2$

$$y\ast =\frac{1}{F(D)}=\frac{pD-(q-{\beta }^2)}{p^2{D}^2-(q-{\beta }^2{)}^2}{|}_{D^2=((\beta i{)}^2)}\cos \beta x$$

多项式型

$$y\ast =\frac{1}{F(D)}(a+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots )=Q_k(D)(a+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{k-1}{x}^k)$$ $$Q_k(D)是将\frac{1}{F(D)}展开为k次泰勒多项式，即b_0+b_{1}D+b_2{D}^2+\dots$$ $$常借助\frac{1}{1-x}的k次泰勒多项式$$

$e^{ax}v(x)$ 型

$$y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}{e}^{\alpha x}v(x)=e^{\alpha x}\frac{1}{F(D+\alpha )}v(x)$$