微分方程的概念

微分方程及其阶

表示未知函数及其各阶导数（微分）与自变量之间的关系的方程称为微分方程。

Note

满足两个条件：

• 方程
• 含有未知函数的导数

最高阶导数的阶数被称为微分方程的阶。

$F[x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n)}]=0或y^{(n)}=f[x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n-1)}]$

Example

$x+y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }+6y=0$ 这是一个 三阶微分方程。 $y^{(4)}=0$ 这是一个 四阶微分方程。

常微分方程

未知函数是一元函数 $y=y(x)$ 的微分方程称为常微分方程。

Example

$y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }+6y=0$ $y\mathrm{d}x-\left(x+\sqrt{x^2+y^2}\right)=0$

线性微分方程

形如： $a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=f(x)$ 的微分方程称为 $n$ 阶线性微分方程。其中： $a_k(x)$ 是自变量为 $x$ 的函数。

当 $a_k(x)$ 都是常数时，又称为 $n$ 阶常系数线性微分方程。

当右端 $f(x)=0$ ，则称为 $n$ 阶齐次线性微分方程，否则称为 $n$ 阶非齐次线性微分方程。

微分方程的解

将函数代入微分方程，使方程成为恒等式，则该函数时微分方程的解。

微分方程解的图形称为积分曲线（族）。

微分方程的通解

若微分方程的解中含有的 独立常数的个数 等于 微分方程的阶数，则称该解时微分方程的通解。

Note

对“独立常数”的解释：

• 独立：经 任何恒等变形 都无法使常数的个数减少；
• 常数：不一定是任意常数，取值范围内的常数也可以。

$y=C_1\sin x+C_2\sin x$ ，可以合并为 $y=C\sin x$ 所以 $C_1,C_2$ 二者不独立； 但解 $y=C_1{e}^x+C_{2}x{e}^x$ 二者相互独立。

假设解为：

初始条件与特解

确定通解中常数的条件就是初始条件。如： $y(x_0)=a_0,y^{\prime }(x_0)=a_1,\cdots$

确定通解中的常数后，解就成了特解。