二重积分的对称性

普通对称性

Tldr

偶倍奇零

设区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称：

1. 若 $f(x,y)=f(-x,y)$ ，则左右部分体积相同，计算一半乘以 $2$ 即可；
2. 若 $f(x,y)=-f(-x,y)$ ，则左右抵消，总体积为 $0$。

关于 $x$ 轴对称、关于直线、原点对称同理。

当关于 $y=x$ 对称时：

1. $f(x,y)=f(y,x)$ 为二倍；
2. $f(x,y)=-f(y,x)$ 为 $0$。

轮换对称性

引例 1

$\underset{D_1:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}\le 1}{\iint }(2x^2+3y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{D_2:\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}\le 1}{\iint }(2y^2+3x^2)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$

Summary

只是字母对调，积分的客观事实无变化，而**积分值与用什么字母表示无关*，因此等式成立。

引例 2

$\underset{D_1:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}\le 1}{\iint }(2x^2+3y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{D_2:\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{4}\le 1}{\iint }(2y^2+3x^2)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$

$x,y$ 对调后，区域也无变化。

积分区域的

在直角坐标系下，若把 $x,y$ 对调后，区域 $D$ 不变（关于 $y=x$ 对称），则：

$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D}{\iint }f(y,x)\mathrm{d}\sigma$

这就是轮换对称性。

Hint

• 若 $f(x,y)$ 是一个困难的积分，那么 $f(y,x)$ 依然是一个困难的积分。但有时 $f(x,y)+f(y,x)$ 可能是异常简单的积分。
• 注意区分普通对称性和轮换对称性的区别和联系：
  • 普通对称性考虑 $f(x,y)$ 与 $f(y,x)$ 的值是否相反；
  • 轮换对称性考虑 $f(x,y)+f(y,x)$ 是否简单。