多元函数微分法则

Tldr

多元微分的计算

链式求导法则

Note

设 $z=f(u,v),u=\varphi (x,y),v=\psi (x,y)$ ，则 $z=f[\varphi (x,y),\psi (x,y)]$ 且：

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

Note

• 全导数：$z=f(u,v),u=\varphi (t),v=\psi (t)$，则 $z=f[\varphi (t),\psi (t)]$ 且 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$
• 第一次求导可以看成框框，内部的值（$u,v$）在第二次求导才会体现出来。

全微分形式不变性

设 $z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)$ 。如果 $f(u,v),u(x,y),v(x,y)$ 分别有连续偏导数，则复合函数 $z=f(u,v)$ 在 $(x,y)$ 处的全微分仍可表示为： $\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v$

无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量，上式总成立。

隐函数存在定理（公式法）

定理 1

对于方程 $F(x,y)=0$ 确定的隐函数 $y=f(x)$ ，当 $F_y^{\prime }(x,y)\ne 0$ 时，有 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x^{\prime }(x,y)}{F_y^{\prime }(x,y)}$

Note

只要不为 0，就能确定隐函数。

定理 2

对于方程 $F(x,y,z)=0$ 确定的隐函数 $z=f(x,y)$ ，当 $F_z^{\prime }(x,y,z)\ne 0$ 时，有 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }(x,y,z)}{F_z^{\prime }(x,y,z)},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }(x,y,z)}{F_z^{\prime }(x,y,z)}$