渐近线

概念

Quote

曲线上的点远离原点时，曲线与某直线充分靠近，直线为曲线的渐近线。

$lim_{x \to x_{0}^{+ / -}} f (x) = \infty$

则 $x = x_{0}$ 即为铅锤渐近线。

函数无定义点、定义区间端点、分段函数分段点

$lim_{x \to + / - \infty} f (x) = y_{1}$

$y = y_{1}$ 即为水平渐近线。

$lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} f (x) = y_{0}$

$y = y_{0}$ 即为水平渐近线。

x \to + \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0

两边同时除以 $x$ ：

a = x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x}

$x \to + \infty$ ， $f (x)$ 与 $x^{1}$ 是同阶无穷大。速度可控。

$b = lim_{x \to \infty} [f (x) - a x]$

$y = a x + b$ 即为斜渐近线。

$y = x + sin x$

$a$ 存在，但 $b$ 不存在 $\Rightarrow$ 无渐近线。

$lim_{x \to + \infty} \frac{s i n x}{x} = 0$

符合条件 $\Rightarrow y = 0$ 是水平渐近线。

Tip

函数可以与渐近线有交点。