凹凸性与拐点的概念

凹凸性的定义

定义 1

函数 $f(x)$ 在区间连续，区间内任取两点 $x_1,x_2$ ，有：

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$

则称 $f(x)$ 的图形是凹的（或凹弧）。反之则为凸的（凸弧）

定义 2

$f(x)$ 在闭区间连续，开区间内可导，对开区间内任意 $x$ 及 $x_0$ 均有：

$$f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)<f(x)$$

则 $f(x)$ 在区间内的图形时凹的。反之则是凸的。

Tip

不好理解？可以这样想：

假如图形是凹的，那么如果在任意点作切线，其附近的函数图像都应该在其之上；凸曲线则在切线下方。

拐点的定义

连续曲线的 凹弧与凸弧的分界点 称为曲线拐点。