反函数的导数

设 $y=f(x)$ 单调可导，且 $f’(x)\ne 0$ ，则存在反函数 $x=\phi (y)$ ：

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}},即\phi ’(y)=\frac{1}{f’(x)}$$

反函数的二阶导数 重要 熟记

记 $f’(x)=y{’}_x$ ， $\phi ’(y)=x{’}_y$ ，则：

$$\begin{array}{rl}y{’}_x=& \frac{1}{x{’}_y}\\ x{’}_y=& \frac{1}{y{’}_x}\end{array}$$ $$y_{xx}^{\prime \prime }=-\frac{x_{yy}^{\prime \prime }}{(x{’}_y{)}^3}$$ $$x_{yy}^{\prime \prime }=-\frac{y_{xx}^{\prime \prime }}{(y{’}_x{)}^3}$$