导数的几何意义

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的导数值 $f’(x)$ ，就是函数曲线该点 $(x_0,y_0)$ 处的 切线 斜率为 $k$ 。 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的切线方程为：

$$y-y_0=k(x-x_0)(k\ne 0)$$

绝对值函数在 $x=0$ 处的切线问题

两条单侧切线，左侧变化率为 $-1$ ，右侧变化率为 $1$ ，左右导数存在但不相等。该点被称为 角点。但在高等数学中：该点 导数不存在。

$y=x^{\frac{1}{3}}$ 在 $x=0$ 处的切线问题

两侧切线斜率均为 无穷大。

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\frac{(\Delta x{)}^{\frac{1}{3}}}{\Delta x}=\frac{1}{(\Delta x{)}^{\frac{2}{3}}}=+\infty$$

该点为铅锤切线，但高等数学中：该点 导数不存在。

Tip

导数存在，切线一定存在；切线存在，导数不一定存在。