海涅定理

设 $f(x)$ 在 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内有定义，则 ${\lim }_{x\to x_0}=A$ 存在 $⟺$ 对任何 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内 以 $x_0$ 为极限的数列 $\{x_n\}(x_n\ne x_0),$ 极限 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$ 存在.

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Q: 若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续, 是否能推出 $\exists \delta >0,当\mid x-x_0\mid <\delta$ 时，$f(x)$ 连续。

$$取f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2,x\in 有理数\\ 0，x\in 无理数\end{array}$$ $$证明连续(x=0)\{\begin{array}{l}(\Delta x{)}^{2}D(x)\to 0\\ 0\le \mid f(x)\mid \le x^2\to 0\end{array}$$ $$证明连续(x\ne 0)\{\begin{array}{l}取有理数\to \ne 0\\ 取无理数\to 0\end{array}$$