数列极限的定义

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a⟺\forall \epsilon >0,\exists N\in N_{+},\text{当}n>N时，恒有\mid x_n=a\mid <\epsilon$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\infty ⟺\forall x>0,\exists N\in N_{+},\text{当}n>N时，恒有\mid x_n\mid >x$$

数列收敛与子列的关系

若数列 $x_n$ 收敛，则其他任何子列 $x_n$ 也收敛，且 ${\lim }_{k\to \infty }{a}_{n_k}={\lim }_{n\to \infty }{a}_n$

推论

如果有一个子列发散，则原数列一定发发散，如 $n^{(-1{)}^n}$ 如果有两个子列收敛到不同极限，则原数列一定发散, 如 $(-1{)}^n$

Note

若 ${\lim }_{n\to \infty }=A,则{\lim }_{n\to \infty }\mid a\mid =\mid A\mid$ 若 A = 0，则 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0⟺{\lim }_{n\to \infty }\mid a_n\mid =0$ 此结论对函数亦成立，若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A,则{\lim }_{x\to x_0}\mid f(x)\mid =\mid A\mid$