函数的图像

幂函数

$$y=x^{\mu }$$

Note

当 $x>0$ 时，由 $y=x$ 与 $y=\sqrt{x}$, $y=\sqrt[3]{x}$, $y=\ln x$ 具有相同的单调性且与 $y=\frac{1}{x}$ 具有相反的单调性，故

1. 见到 $\sqrt{u}$, $\sqrt[3]{u}$ 时，可用 $u$ 来研究最值；
2. 见到 $\mid u\mid$ 时，由 $\mid u\mid =\sqrt{u^2}$, 可用 $u^2$ 来研究最值；
3. 见到 $u_1{u}_2{u}_3时，可用\ln (u_1{u}_2{u}_3)=\ln u_1+\ln u_2+\ln u_3$ 来研究最值；
4. 见到 $\frac{1}{u}$ 时，可用 $u$ 来研究最值

指数函数

$$y=a^x(a>0,a\ne 1)$$

Tip

特殊函数值：$a^0=1$, $e^0=2$ $e^{x_n}-1=e^{x_n}-e^0$

对数函数

$$y={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)$$

Tip

特殊函数值：${\log }_{a}1=0,{\log }_{a}a=1,{\ln }_1=0,\ln e=1$ 常用公式：$x=e^{\ln x}(x>0),u^v=e^{\ln u^v}=e^{v\ln u}$ 当 $x>0$ 时，$\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\ln \left(x+\frac{1}{x}\right)=\ln (x+1)-\ln x$

三角函数

正弦函数与余弦函数

Tip

有界性：$\mid \sin x\mid \le 1,\mid \cos x\mid \le 1$

正切函数与余切函数

$$y=\tan x$$ $$y=\cot x$$

Tip

定义域：$\tan x$ 定义域为 $x|x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)$; $\cot x$ 定义域为 $x|x\ne k\pi (k\in Z)$ 周期性：$\tan x,\cot x$ 均为奇函数 周期性：$\tan x,\cot x均以\pi$ 为最小正周期

正割函数与余割函数

$$y=\sec x$$ $$y=\csc x$$

Note

（1）定义域：$y=\sec x$ 的定义域为 $\left\{x|x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)\right\}$；$y=\csc x$ 的定义域为 $\left\{x|x\ne k\pi (k\in Z)\right\}$。 值域：$(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$。
（2）奇偶性：$y=\sec x$ 为偶函数，$y=\csc x$ 为奇函数（在其定义域内）。
（3）周期性：$y=\sec x$ 和 $y=\csc x$ 均以 $2\pi$ 为最小正周期（在其定义域内）。
（4）$1+{\tan }^2\alpha ={\sec }^2\alpha$；$1+{\cot }^2\alpha ={\csc }^2\alpha$。

反三角函数

反正弦函数与反余弦函数

$$y=\arcsin x$$ $$y=\arctan x$$

Note

（1）主值区间：
$y=\arcsin x$ 的主值区间为 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，$y=\arccos x$ 的主值区间为 $\left[0,\pi \right]$。
（2）反三角函数的恒等式有：
$\sin (\arcsin x)=x,x\in [-1,1],\sin (\arccos x)=\sqrt{1-x^2},x\in [-1,1];$
$\arcsin (\sin y)=y,y\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right];$
$\arccos (\cos y)=y,y\in [0,\pi ];$
$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}(-1\le x\le 1)$。

令 $t=\arccos x\in [0,\pi ]$
则 $x=\cos t,\sin t>0$
又 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$
因此 $\sin t=\sqrt{1-x^2}$
即 $\sin (\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$

反正切函数与反余切函数

$$y=\arctan x$$ $$y=\mathrm{arccot}x$$

Tip

$\arctan x+\mathrm{arccot}x=\frac{\pi }{2}$

初等函数

$$y=x^x=e^{x\ln x}$$

符号函数

$$f(x)=sgnx=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}$$

对任意实数有 $x=\mid x\mid sgnx$

取整函数

$$y=[x]$$

Tip

1. $[x+n]=[x]+n$
2. $x-1<[x]\le x$