函数的四种特性

有界性

设 $f(x)$ 的定义域为 $D$，数集 $I\in D$. 如果存在某个正数 $M$, 使对任一 $x\in I$, 有 $\mid f(x)\mid \le M$, 则称 $f(x)$ 在 $I$ 上有界；如果这样的 $M$ 不存在，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上无界。

Tip

$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

单调性

设 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 区间 $I\in D$. 如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1,x_2$, 当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)<f(x_2)$, 则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加。如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1,x_2$, 当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)>f(x_2)$, 则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调减少。

Tip

对于任意 $x_1,x_2\in D$，有 $f(x)$ 是单调增函数 $⟺(x_1-x_2)[f(x_1-f(x_2))]>0$; $f(x)$ 是单调减函数 $⟺(x_1-x_2)[f(x_1-f(x_2))]<0$; $f(x)$ 是单调不减函数 $⟺(x_1-x_2)[f(x_1-f(x_2))]\ge 0$; $f(x)$ 是单调不增函数 $⟺(x_1-x_2)[f(x_1-f(x_2))]\le 0$;

奇偶性

Tip

前提：定义域关于原点对称

1. $f(x)+f(-x)$ 必是偶函数 如 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
2. $f(x)-f(-x)$ 必是奇函数 如 $y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
3. $f[\varphi (x)]$ (内偶则偶，内奇同外)
4. $y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ 奇函数 反双曲正弦
5. $f(x)$ 奇 $\Rightarrow f(x{)}^{\prime }$ 偶 $\Rightarrow f(x{)}^{\prime \prime }$ 奇（偶奇偶）
6. $f(x)$ 奇 $\Rightarrow {\int }_x^{0}f(t)dt$ 偶（偶奇）

周期性

Tip

1. 若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则 $f(ax+b)$ 以 $\frac{T}{\mid a\mid }$ 为周期
2. 若 $g(x)$ 是周期函数，则 $f[g(x)]$ 也是周期函数，如 $e^{\sin x},{\cos }^{2}x$
3. 若 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的可导函数，则 $f^{\prime }(x)$ 也以 $T$ 为周期。
4. 若 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则只有在 ${\int }_T^{0}f(x)dx=0$ 时，${\int }_x^{0}f(t)dt$ 也以 $T$ 为周期.